Galjaard studeerde geneeskunde aan de Leidse universiteit, en promoveerde (cum laude) in 1962. Na een periode van onderzoek in de radiobiologie in Harwell (Engeland) en bij het het Medisch Biologisch Laboratorium RVO/TNO te Rijswijk werd hij in 1965 betrokken bij de oprichting van de Medische Faculteit Rotterdam onder leiding van prof.dr. A. Querido.
Van 1968 tot 1993 was Galjaard hoogleraar en afdelingshoofd Celbiologie aan de EUR. In deze periode richtte hij zijn aandacht op de prenatale diagnostiek, waarbij ziekten of afwijkingen reeds bij het ongeboren kind kunnen worden vastgesteld. Later werd hij afdelingshoofd Klinische Genetica aan de Erasmus Universiteit Rotterdam.
Daarnaast was hij lid van de Commissie Bio-ethiek van UNESCO en nam hij zitting in de Commissie Terlouw over genetisch gemodificeerd voedsel. Ook vertolkte hij zijn wetenschappelijke rol in televisieprogramma's zoals Willen wij weten (NCRV, 1981), Erfelijkheid en jij: een film over erfelijkheid en aangeboren afwijkingen (1990) en Alle mensen zijn ongelijk (VARA, 1994).
In 1997 ontving hij de Van Walree Prijs van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen. In 2000 werd aan Galjaard de Van Oldenbarneveltpenning toegekend; dit is de hoogste gemeentelijke onderscheiding van de stad Rotterdam. Zijn afscheidscollege gaf hij in 2001.